MODELO ECONÓMICO DE LEONTIEF

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Las matemáticas son de gran importancia y ayuda para el progreso de muchas disciplinas, como por ejemplo la economía. Wassily Leontief en el año 1973 gana el premio nobel de Economía por el desarrollo del método input-output (Insumo-Producto) [1], el cual combina el uso de la teoría económica, el análisis estadístico y matemático. Leontief introdujo ciertas simplificaciones y supuestos para crear su modelo que ayudaría a predecir los niveles de producción futuros de cada sector o industria, a fin de satisfacer las demandas futuras para diversos productos.

 

    • Identidad de la industria y el producto: reducir el número de mercancías, por ejemplo, la industria automotriz, sólo produce vehículos a motor y es la única que lo hace, las demás industrias producen otros productos.

 

    • Homogeneidad de los productos: cada producto es uniforme, por ejemplo, considerar que todos los vehículos a motor son los mismos.

 

    • Supuesto de los coeficientes fijos: cada insumo es requerido en una relación fija a la producción a la cual contribuye. La consecuencia inmediata de este supuesto es que cualquier cambio en los datos, en el corto plazo, no conduce a una substitución de los procesos productivos.

 

A lo largo del tiempo, cada uno de estos supuestos ha sido cuestionado por los economistas y se le han hecho algunas modificaciones al modelo original para ir generalizando.

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Wassily Leontief, 1973 Premio Nobel de Ciencia Económica. Leontief fue el fundador y director del Instituto de Análisis Económico de la Escuela Robert F de la NYU. Profesor de economía de la Facultad de Artes y Ciencias. Tres de los estudiantes de doctorado de Leontief también han sido galardonados con el Premio Nobel.

 

Para comprender el modelo realizado por Leontief consideramos una economía ficticia formada por tres sectores (una economía real puede estar formada por muchos sectores)

  1. A: sector Agropecuario (empresas agrícolas y ganaderas)
  2. I: sector Industrial (empresas de producción textil, farmacéuticos, alimentos, bebidas, papel, etc)
  3. S: sector Servicios (empresas que prestan algún servicio, por ejemplo, transporte, servicios profesionales, servicios públicos, etc)

 

Para describir la interdependencia de los sectores, Leontief propone construir una tabla de transacciones intersectoriales. En esta tabla se muestra como se interrelacionan todas las industrias. La tabla para esta economía es la siguiente

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La primera columna de la tabla, se interpreta de la siguiente manera: el primer elemento $1200$, representa las compras que el sector agropecuario ha efectuado a otras empresas del mismo sector, por ejemplo, semillas, abonos, ganado, etc. El segundo elemento, $3000$ representa las compras que el sector agropecuario ha efectuado al sector industrial, como por ejemplo, herramientas, fertilizantes, químicos, etc. El tercer elemento, $600$ representa las compras que el sector agropecuario ha efectuado al sector servicios, tales como, servicio de transporte de carga, servicio de sanidad, etc. Por lo tanto, las tres primeras columnas representan las demandas intermedias

La cuarta columna de la tabla, representa las compras que los consumidores finales efectúan a los sectores de producción, por tanto corresponde a los bienes que son adquiridos por las familias, por las instituciones estatales, por otros países, etc. Esta columna recibe el nombre de demanda final 

La matriz formada por estas columnas se conoce como  Matriz de demandas Intermedias

La última columna representa el valor bruto de producción de cada sector, que se calcula sumando las ventas que cada sector ha efectuado a cada uno de los sectores de la economía considerada.

En nuestra economía ficticia considerada,

$X=\left[\begin{array}{c}6000\\8000\\14000\\\end{array}\right]$ Producción bruta, $D=\left[\begin{array}{c}1200\\2000\\5200\\\end{array}\right]$ Demanda final

$B=\left[\begin{array}{ccc}1200 & 800 & 2800\\3000 & 1600 & 1400\\ 600 & 3600 & 4600\end{array}\right] $ Matriz de demandas intermedias

 

Recordar que los $b_{ij}$ representan  las ventas que el sector $i$ ha efectuado al sector $j$ y los $x_{j}$ la producción bruta del sector comprador. Relacionando ambos coeficientes, se busca la proporción de venta $\frac{b_{ij}}{x_{j}}$, la cual representa los requerimientos de insumos del sector $i$, necesarios para producir una unidad de producto del sector $j$.

Es en este punto, donde se toma en cuenta el segundo supuesto del modelo: Existe proporcionalidad directa, entre la producción bruta del sector $j$ y el volumen total de insumos, que este sector adquiere de los demás sectores proveedores. En otras palabras, los insumos que venden los sectores proveedores, varían en la misma proporción en que se modifican la producción bruta del sector que la adquiere.

Considerando este supuesto, se genera una matriz denominada Matriz de coeficientes técnicos, cuyos elementos son las constantes de proporcionalidad, las cuales se les suele denominar: Coeficientes técnicos.

Para la economía ficticia que se está considerando,

$B=\left[\begin{array}{ccc}1200 & 800 & 2800\\3000 & 1600 & 1400\\ 600 & 3600 & 4600\end{array}\right] $, $X=\left[\begin{array}{c}6000\\8000\\14000\\\end{array}\right]$

 

se tendría que,

$a_{11}=\frac{b_{11}}{x_{1}}=\frac{1200}{6000}=0.2$

$a_{21}=\frac{b_{21}}{x_{1}}=\frac{3000}{6000}=0.5$

$a_{31}=\frac{b_{31}}{x_{1}}=\frac{600}{6000}=0.1$

$a_{12}=\frac{b_{12}}{x_{2}}=\frac{800}{8000}=0.1$

$a_{22}=\frac{b_{22}}{x_{2}}=\frac{1600}{8000}=0.2$

$a_{32}=\frac{b_{32}}{x_{2}}=\frac{3600}{8000}=0.45$

$a_{13}=\frac{b_{13}}{x_{3}}=\frac{2800}{14000}=0.2$

$a_{23}=\frac{b_{23}}{x_{3}}=\frac{1400}{14000}=0.1$

$a_{33}=\frac{b_{33}}{x_{3}}=\frac{4600}{14000}=0.3286$

 

Por lo tanto, la matriz de coeficientes técnicos para esta economía ficticia es

$A=\left[\begin{array}{ccc}0.2 & 0.1 & 0.2\\0.5 & 0.2 & 0.1\\ 0.1 & 0.45 & 0.3286\end{array}\right] $

Si se sustituye $b_{ij}=a_{ij}x_{j}$ se obtiene la ecuación matricial

$AX+D=X$,

donde $A$ es la matriz de coeficientes técnicos, $D$ la matriz de demanda final y $X$ la matriz de producción bruta.

Puesto que los coeficientes técnicos, $a_{ij}$, no varían durante un cierto tiempo, la ecuación $AX+D=X$, se utiliza para determinar el nivel de producción bruta que se requiere en cada sector.

La ecuación anterior también se puede ver de la siguiente forma

$\left(I_{3}-A\right)X=D$

Note que, $X$ es la solución de un sistema de ecuaciones lineales donde $I_{3}-A$ es la matriz de coeficientes, la cual se denomina Matriz de Leontief.

En nuestra economía ficticia, supongamos que se trata de satisfacer un aumento en la demanda final para el próximo periodo de $400$ unidades en el agropecuario, de $200$ unidades en el sector industria y $200$ unidades en el sector servicios. La pregunta interesante sería

¿Cuáles deben ser los valores de $x_{1}$, $x_{2}$ y $x_{3}$ que permitan satisfacer estos incrementos?

De la ecuación matricial $\left(I_{3}-A\right)X=D$, tenemos que

$X=(I_{3}-A)^{-1}D$

Para nuestro ejemplo,

$(I_{3}-A)^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1.6507 & 0.5271 & 0.5702\\1.1596 & 1.73345 & 0.6037\\ 1.0230 & 1.2410 & 1.9789\end{array}\right]$

entonces

$X=\left[\begin{array}{ccc}1.6507 & 0.5271 & 0.5702\\1.1596 & 1.73345 & 0.6037\\ 1.0230 & 1.2410 & 1.9789\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1200\\2000\\5200\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6000\\8000\\14000\\\end{array}\right]$.

Tomamos en cuenta los incrementos previstos en al demanda final, se obtiene una nueva matriz de demanda

$D’=\left[\begin{array}{c}1200\\2000\\5200\\\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}400\\200\\200\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1600\\2200\\5400\\\end{array}\right]$

$D’$ se denomina demanda proyectada y para satisfacerla, se debe generar una producción bruta $X’$, dada por

$X’=(I_{3}-A)^{-1}D’=\left[\begin{array}{ccc}1.6507 & 0.5271 & 0.5702\\1.1596 & 1.73345 & 0.6037\\ 1.0230 & 1.2410 & 1.9789\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1600\\2200\\5400\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6880\\8931\\15053\\\end{array}\right]$

Comparando el vector $X$ y $X’$ se obtienen los incrementos de la producción en cada sector, necesarios para satisfacer el incremento previsto en la demanda final.

$\Delta X=X’-X=\left[\begin{array}{c}880\\931\\1053\\\end{array}\right]$

Imagine que la demanda representada por $D$, se representa a las distintas industrias al inicio del año. Las industrias responden estableciendo sus niveles de producción en $X=D$, lo cual satisfará la demanda final. Conforme las industrias se preparan para producir $D$. Estos crea una demanda intermedia de insumos.

$D_{1}=AD$

Análogamente para satisfacer la demanda adicional $D_{1}$, las industrias necesitarán como insumos adicionales las cantidades

$D_{2}=AD_{1}=A^{2}D$

y así sucesivamente. El nivel de producción $X$, que satisface el total de la demanda, deber ser tal que

$X=D+AD+A^{2}D+…+A^{m}D+…=\left(\sum_{k=0}^{\infty}A^{k}\right)D$.

Por otra parte, $X$ debe satisfacer el sistema $(I_{n}-A)^{-1}D$. En el caso que la matriz $I_{n}-A$ sea invertible, sabemos que existe un único vector $X$ que es solución del sistema

$X=(I_{n}-A)^{-1}D$.

Entonces se tiene que,

$(I_{n}-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}A^{k}$.

La construcción de matrices Insumo-Producto se continua haciendo actualmente. En Europa, por ejemplo, países como Noruega, España, Dinamarca, Francia, Holanda, Alemanía y en el Reino Unido estiman matrices de Insumo-Producto aproximadamente cada cinco años y en latinoamérica lo hacen países como México, Chile [2], Colombia, Cuba, Costa Rica y Puerto Rico.


Referencias

[1] W. Leontief, Quantitative Input and Output Relations in the Economic Systems of the United States, Rev. Econ. Stat. 18, 105 (1936)

[2] Matriz de insumo- producto de la Economía Chilena 1996.

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