FOLIACIONES HOLOMORFAS CON HOJAS CON GÉNERO INFINITO

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Una foliación holomorfa singular $\mathcal{F}$ de dimensión $n$ en una variedad holomorfa $M^m$ es una partición

$M=\sqcup_{\alpha\in\Delta} \mathcal{L}_\alpha$,

donde la hoja $\mathcal{L}_\alpha$ pasando por $x\in M-\mathrm{Sing}(\mathcal{F})$ es una variedad holomorfa de dimensión $n<m$ y el conjunto $\mathrm{Sing}(\mathcal{F})$ es un conjunto analítico de codimensión mayor igual que 2, el cual es llamado conjunto singular de $\mathcal{F}$.

Cuando $\mathcal{F}$ tiene dimensión 1 las hojas fuera del conjunto singular $\mathrm{Sing}(\mathcal{F})$ son superficies reales orientables y en general no son compactas. Del teorema de Kerékjártó (ver [R]) prueba que el género y los fines determinan topologicamente una superficie real orientable. La intención de esta entrada es describir el género de las hojas de foliaciones de dimensión 1.

Recordemos que el género de una superficie real orientable es el número de asas que tiene. Este número para superficies compactas siempre es finito, pero en caso de superficies no compactas pueden tener un número infinito de asas. Un ejemplo de lo ultimo es un plano al cual le pegamos un infinito numerable de asas, conocido como el monstruo de Loch Ness.

El monstruo de Loch Ness
Obtener información sobre el género de una hoja arbitraria de $\mathcal{F}$ fuera de $\mathrm{Sing}(\mathcal{F})$ es complicado. Observaremos las hojas que están cerca de una hoja algebraica $C$; esto es una hoja cuya cerradura topológica en $M$ es una curva suave compleja compacta, o sea una superficie real orientable compacta. Para estudiar el género de estas hojas cerca de $C$ necesitamos la siguiente definición.

 

Definición. Sea un punto $p$ en una hoja $\mathcal{L}$ de la foliación $\mathcal{F}$ en $M$. Consideramos el germen de una transversal $\tau$ a $\mathcal{F}$ por $p$ y los caminos cerrados $\gamma:I\rightarrow\mathcal{L}$ en $\mathcal{L}$, tales que $\gamma(0)=\gamma(1)=p$. Los levantamientos de $\tilde{\gamma}_x:I\rightarrow\mathcal{L}_x$ de $\gamma$ a largo de la hoja $\mathcal{L}_x$ que pasa por el punto $x\in\tau$ inducen  un germen de difeomorfismo de $(\tau, p)$,

$h_\gamma:(\tau, p)\rightarrow(\tau, p)$

$\tilde{\gamma}_x(0)\mapsto\tilde{\gamma}_x(1)$.

Este germen de difeomorfismo lo llamamos transformación de holonomia sobre $\gamma$. Como la holonomia $h_\gamma$ no depende de la clase de homotopía de $\gamma$ en $\mathcal{L}$, está bien definido el siguiente morfismo conocido como representación de holonomia

$\mathrm{Hol}(\mathcal{L},\mathcal{F}):\pi_1(\mathcal{L},p)\rightarrow\mathrm{Diff}(\tau,p)$

$[\gamma]\mapsto h_\gamma$,

donde $\pi_1(\mathcal{L},p)$ es el grupo fundamental de $\mathcal{L}$ y $\mathrm{Diff}(\tau,p)$ el seudogrupo de gérmenes de difeomorfismos. La imagen de este morfismo es conocido como el grupo de holonomia, que denotaremos por $\mathrm{Hol}(\mathcal{L},\mathcal{F})$.

Lo interesante del grupo de holonomia de una hoja algebraica $C$ es que lo podemos relacionar con un recubrimiento regular de $C$,

$\rho_G: R_G(C)\rightarrow C$,

donde $G$ es el grupo de homeomorfismos $\phi:R_{G}(C)\rightarrow R_{G}(C)$ que satisfacen $\rho_G\circ\phi=\rho_G$ y es isomorfo al grupo de holonomia $\mathrm{Hol}(C,\mathcal{F})$, (ver [L]).

Esta relación nos permite ver que para una hoja $\mathcal{L}$ suficientemente cerca de $C$ existe un abierto $U\subset R_{G}(C)$ y un encaje $e:U\hookrightarrow\mathcal{L}$ (para detalles ver [Lemma 3.3.2, Ro]). Y con esto podemos probar el siguiente resultado.

Teorema

Sea $\mathcal{F}$ una foliación holomorfa de dimensión 1 de una variedad compleja $M$ con una hoja algebraica $C$. Si $\mathrm{Hol}(C,\mathcal{F})$ es abeliano y el recubrimiento $R_G(C)$ tiene género infinito, entonces $\mathcal{F}$ tiene hojas de género arbitrario. Y si $\mathrm{Hol}(C,\mathcal{F})$ es linealizable entonces existen hojas de género infinito.

 

Idea de la prueba

Como $\mathrm{Hol}(C,\mathcal{F})$ es abeliano tenemos que el recubrimiento regular $R_G(C)$ tiene que ser homeomorfo a una de las superficies de la siguiente lista:

  • el monstruo de Loch Ness,
  • el cilindro,
  • la escalera de Jacob, esto es un cilindro al cual le pegamos un infinito numerable de asas,
  • el plano menos un conjunto discreto infinito,
  • el monstruo de Loch Ness menos un conjunto discreto infinito,
  • la escalera de Jacob menos un conjunto discreto infinito.

 

Escalera de Jacob

 

Por hipótesis excluimos el cilindro y el plano menos un conjunto discreto infinito. Ya que $\mathrm{Hol}(C,\mathcal{F})$ es abeliano entonces tomando una hoja $\mathcal{L}$ suficientemente cerca de $C$ podemos encajar un abierto $U\subset R_G(C)$ género suficientemente grande en $\mathcal{L}$. Y si $G$ es linealizable entonces $\mathcal{L}$ se acumula en $C$ y $U$ puede ser de género arbitrario, por lo tanto $\mathcal{L}$ tiene género infinito.

Este teorema sólo nos da información sobre el género de una hoja, pero con ciertas condiciones sobre $M$ y $\mathcal{F}$ se puede dar una descripción topológica completa de la hoja genérica, para esto se puede ver [Theorems 3.1.1, 3.4.7, Ro] y [Gh].

También se puede debilitar la hipótesis de que el grupo de holonomia sea abeliano, sólo que en ese caso hay que pedir que $C$ sea una esfera menos un conjunto finito de puntos (ver [G-K]).


Referencias.

[Ca-L] Camacho, C.; Lins Neto, A. Teoria geométrica das folheações. Projeto Euclides, 9. Instituto de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1979.

 

[Gh] Ghys, E. Topologie des feuilles generiques. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 2, 387-422.

 

[G-K] Goncharuk, N.; Kudryashov, Y. Genera of non-algebraic leaves of polynomial foliations of $\mathbb{C}^2$ http://arxiv.org/abs/1407.7878v3 (20/03/2015).

 

[L] Lima, E. L. Grupo fundamental e espa\c{c}os de recobrimento, Projeto Euclides. Rio de Janeiro, IMPA, 2006.

 

[R] Richards, I. On the classication of noncompact surfaces, Trans. Amer. Math. Soc 106(1963), 259-269

 

[Ro] Rodríguez Guzmán, D. Topology of leaves of generic logarithmic foliations. Thesis (Ph.D.) IMPA. 2016.
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