DINÁMICA DIFERENCIABLE Y CAOS EN ESPACIOS NO COMPACTOS

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En sistemas dinámicos continuos o medibles, el concepto de caos (o entropía) resulta ser un objeto de estudio fundamental. Dependiendo de la naturaleza del sistema la entropía toma distintas formas, pero todas ellas intentan describir en fórmulas matemáticas algo intuitivamente evidente: un sistema dinámico es caótico, o de mucha entropía, si la predicción de la posición de los puntos a lo largo del tiempo se vuelve exponencialmente complicada. Estaremos de acuerdo que esta última frase carece de rigor, pero como veremos a continuación, la realidad matemática no se aleja demasiado de esta simple idea.

Sea $T:X\to X$ una transformación continua de un espacio topológico metrizable $X$, y supongamos que existe una medida de probabilidad $T$-invariante $\mu$ en $X$. Dos nociones clásicas de entropía aparecen en este contexto. Como es de esperar por su nombre, la entropía topológica $h_{top}(T)$ intenta describir el caos descrito por $T$ desde la perspectiva de la continuidad, y por su parte, la entropía en medida $h_\mu(T)$ intenta lo mismo desde la perspectiva de la teoría de la medida. Ambos números, pertenecientes al intervalo $[0,+\infty]$, resultan complicados de definir al ser altamente técnicos y al necesitar otros conceptos que en estas notas no aportan información relevante. Lo trascendental detrás de ellos, sin embargo, es que no importa la naturaleza que consideremos, estas nociones se entrelazan al lograr sacar a la luz cierta estructura subyacente del caos. En esta línea, destacamos particularmente el Principio Variacional:

Teorema (Principio Variacional). Sea $T:X\to X$  una transformación continua de un espacio topológico metrizable y segundo contable $X$. Entonces
$$h_{top}(T)=\sup\{h_\mu(T):\mu \text{ de probabilidad T-invariante}\}.$$

Una noción más natural de entropía, que evidencia notoriamente la idea de complejidad del sistema, proviene del estudio de las bolas dinámicas (o bolas de Bowen). Sea $T:X\to X$ como antes y fijemos una distancia $d$ en $X$. Una $(n,r)$-bola dinámica centrada en $x\in X$ de radio $r>0$ es el conjunto $B_n(x,r)$ definido por
$$B_n(x,r):=\{y\in X:d(T^ix,T^iy)<r,\text{ para todo }0\leq i\leq n-1\}.$$
Observemos que si $T$ es muy caótica, entonces el conjunto $B_n(x,r)$ debiese decrecer exponencialmente en $n$ puesto que permanecer a distancia $<r$ de $x$ por mucho tiempo sería cada vez mas difícil. Pero, ¿a qué nos referimos con decrecer? Si $\mu$ es una medida de probabilidad $T$-invariante en $X$, entonces podríamos intentar medir la taza de decrecimiento exponencial de $\mu(B_n(x,r))$. Esto es justamente lo que hicieron Brin-Katok en los años 80, trabajo que concluyó en el siguiente resultado.

Teorema (Brin-Katok, 1981) Sea  $T:X\to X$  una transformación continua de un espacio métrico compacto. Si $\mu$ es una medida de probabilidad $T$-invariante ergódica, entonces
$$h_\mu(T)=\lim_{r\to 0}\liminf_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\log\mu(B_n(x,r))=\lim_{r\to 0}\limsup_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\log\mu(B_n(x,r)),$$
para $\mu$-casi todo $x\in X$.

Antes de entrar al corazón de estas notas cabe destacar que la entropía topológica también se puede describir a partir de bolas dinámicas. Para ser precisos, Bowen consideró la taza de crecimiento exponencial de cubrimientos de subconjuntos compactos a partir de bolas dinámicas, mostrando que dicho valor coincide con la entropía topólogica en el caso de transformaciones continuas definidas en espacios compactos.

Estudiemos ahora un caso mucho más particular de sistemas dinámicos: difeomorfismos lisos en variedades Riemannianas. Sea $f:M\to M$ un difeomorfismo de clase $C^1$ de una variedad Riemanniana, la cual puede ser compacta o no compacta. La diferencial $df:TM\to TM$ induce también un sistema dinámico “lineal” en $M$. Precisamente, podemos estudiar la aplicación $\tilde{f}:U_x\to U_{f(x)}$, donde $U_y$ denota alguna vecindad abierta de $y\in M$, definida por
$$\tilde{f}=\exp_{f(x)}\circ df\circ\exp_x^{-1}.$$
En esta etapa, el caos “lineal” de $f$ puede entenderse como el caos dado por las bolas dinámicas de $\tilde{f}$, es decir la taza de decrecimiento exponencial de la medida del conjunto
$$\widetilde{B}_n(x,r):=\{y\in M:d(\tilde{f}^ix,\tilde{f}^iy)<r,\text{ para todo }0\leq i\leq n-1\}.$$
Lamentablemente, al trabajar con la función exponencial en las iteraciones de un punto, se pierde el control sobre los dominios en los que $\tilde{f}^n$ está bien definida. De hecho, los dominios de definición podrían decrecer al punto $x$ en cuestión. Para evitar esto, consideraremos el conjunto
$$C_n(x,r):=\bigcap_{i=0}^{n-1}d_xf^{-i}B^{f^ix}(0,r),$$
donde $B^{f^ix}(0,r)$ es una $r$-bola en torno a $0$ en $T_{f^ix}M$. De esta forma $C_n(x,r)$ es un equivalente a una bola dinámica de $f$ pero al nivel de $df$, e infinitesimalmente hablando, la bola $C_n(x,r)$ es comparable con $\widetilde{B}_n(x,r)$. Así, de ahora en adelante y a beneficio de nuestros propósitos, nos enfocaremos exclusivamente en estudiar al conjunto $C_n(x,r)$. Como $C_n(x,r)\subset T_xM$, la medida razonable a considerar para medir la taza de decrecimiento exponencial de $C_n(x,r)$ es el volumen Riemanniano. Teniendo esto en mente, nos referiremos a las entropías lineales en $x$ cuando miramos los límites puntuales
$$\lim_{r\to 0}\liminf_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\log\text{vol}(C_n(x,r))\quad\mbox{y}\quad\lim_{r\to 0}\limsup_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\log\text{vol}(C_n(x,r)).$$

Antes de calcular estas entropías lineales para difeomorfismos con regularidad razonable, necesitamos un poco mas de información sobre la dinámica de la diferencial de $f$.

Teorema (Oseledets, 1968). Sean $f:M\to M$ un difeomorfismo de clase $C^1$ de una variedad Riemanniana y $\mu$ una medida de probabilidad $f$-invariante en $M$. Asuma que $\log\|df^{\pm 1}\|\in L^1(\mu)$. Entonces para $\mu$-casi todo $x\in M$ existen números $\{\lambda_j(x)\}_{j=1}^{s(x)}$ y espacios vectoriales $\{E_j(x)\}_{j=1}^{s(x)}$, tales que
$$T_xM=\bigoplus_{j=1}^{s(x)}E_j(x),$$
y para todo $v\in E_j(x)\setminus\{0\}$, se tiene
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\|d_xf^n(v)\|=\lambda_j(x).$$

En otras palabras, si $\lambda_j(x)>0$ entonces existe una dilatación exponencial de un vector $v\in E_j(x)\setminus\{0\}$ a lo largo de su órbita respecto a $df$. Análogamente, si $\lambda_j(x)<0$ entonces existe una dilatación exponencial de un vector $v\in E_j(x)\setminus\{0\}$ a lo largo de su órbita. Los números $\{\lambda_j\}$ son llamados exponentes de Lyapunov, y los espacios vectoriales $\{E_j(x)\}$ asociados a ellos espacios característicos. Como la entropía de un sistema mide el cómo los puntos se separan a lo largo del tiempo, es natural esperar que los exponentes de Lyapunov positivos aparezcan como entropía lineal de $f$.

Teorema (Riquelme, 2015). Sean $f:M\to M$ un difeomorfismo de clase $C^1$ de una variedad Riemanniana y $\mu$ una medida de probabilidad $f$-invariante en $M$. Asuma que $\log\|df^{\pm 1}\|\in L^1(\mu)$. Entonces, para $\mu$-casi todo $x\in X$, se tiene
$$\lim_{r\to 0}\liminf_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\log\text{vol}(C_n(x,r))=\lim_{r\to 0}\limsup_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\log\text{vol}(C_n(x,r))=\sum_{\lambda_j(x)>0}\lambda_j(x)\text{dim}(E_j(x)).$$

Hasta ahora hemos visto que la entropía en medida de un difeomorfismo se describe en términos de la taza de decrecimiento exponencial de la medida de las bolas dinámicas, y por otro lado, puntualmente la taza de decrecimiento de tales bolas para la dinámica linealizada se describe en términos de los exponentes de Lyapunov positivos. Pero, ¿cuál es la relación entre ambas nociones de entropía? y ¿en qué medida la linealización del sistema dinámico permite recuperar la entropía de la transformación original? Estas preguntas fueron respondidas en gran detalle en el marco de espacios compactos alrededor de los años 70-80.

Teorema (Ruelle, 1978). Sea $f:M\to M$ un difeomorfismo de clase $C^1$ de una variedad Riemanniana compacta y consideremos $\mu$ una medida de probabilidad $f$-invariante en $M$. Entonces
$$h_\mu(f)\leq \int \sum_{\lambda_j(x)>0}\lambda_j(x)\text{dim}(E_j(x)) d\mu(x).$$

El caso de igualdad en la desigualdad de Ruelle tiene bastantes variantes. Se enuncian los teoremas por completud, pero evitaremos entrar en definiciones.

Teorema (Pesin, 1977). Sea $f:M\to M$ un difeomorfismo de clase $C^{1+\alpha}$ de una variedad Riemanniana compacta y consideremos $\mu$ una medida de probabilidad $f$-invariante en $M$. Si $\mu$ es absolutamente continua respecto a la medida de volumen en $M$, entonces
$$h_\mu(f)=\int \sum_{\lambda_j(x)>0}\lambda_j(x)\text{dim}(E_j(x)) d\mu(x).$$

Teorema (Ledrappier-Strelcyn/Ledrappier-Young, 1982-1985). Sea $f:M\to M$ un difeomorfismo de clase $C^{1+\alpha}$ de una variedad Riemanniana compacta y consideremos $\mu$ una medida de probabilidad $f$-invariante en $M$. Entonces $\mu$ tiene medidas condicionales absolutamente continuas respecto a las variedades inestables si y solamente si
$$h_\mu(f)=\int \sum_{\lambda_j(x)>0}\lambda_j(x)\text{dim}(E_j(x)) d\mu(x).$$

El caso no compacto ha sido estudiado recientemente, y muchos pensaban que la hipótesis de integrabilidad del logaritmo de la norma de la diferencial era suficiente para asegurar la validez de la desigualdad de Ruelle en tal contexto. Sin embargo, se encontraron contraejemplos a esta desigualdad para difeomorfismos en variedades no compactas de entropía arbitraria positiva.

Teorema (Riquelme, 2015). Para todo $h\in(0,\infty]$ existe un sistema dinámico de clase $C^\infty$, definido en una variedad Riemanniana no compacta, tal que los exponentes de Lyapunov son todos nulos y la entropía coincide con $h$.

Lo que caracteriza a estos contraejemplos es que, a grandes rasgos, el infinito aporta caos en la transformación a pesar de que esta se parezca localmente a una traslación. Este caos al infinito merece sin lugar a dudas ser estudiado en detalle, pues poco y nada se sabe al respecto. Sin embargo, a pesar de la existencia de contraejemplos, hay casos genéricos en los cuales la desigualdad de Ruelle se tiene para toda medida de probabilidad invariante. En estos casos el caos se describe por la dinámica lineal debido a una suerte de linearización uniforme en los lugares donde ocurre la dinámica (variedades fuertemente inestables), linearización que se asemeja a los casos estudiados por Ledrappier-Strelcyn y Ledrappier-Young en el caso de variedades compactas.

Teorema (Riquelme, 2016). Sea $M$ una variedad Riemanniana completa a curvatura negativa acotada entre dos constantes estrictamente negativas. Asumamos que las derivadas parciales de las curvaturas seccionales son uniformemente acotadas. Entonces el flujo geodésico $(g_t):T^1M\to T^1M$ satisface la desigualdad de Ruelle para toda medida de probabilidad $(g_t)$-invariante en $T^1M$. Además, una medida de probabilidad invariante satisface la igualdad si y solamente si esta tiene medidas condicionales absolutamente continuas respecto a las variedades inestables.  

torus_geodflow

Muchos de los conceptos descritos en esta entrada pueden parecer distantes incluso para conocedores de la teoría ergódica, pero la idea esencial que debe quedar en mente es la siguiente: la teoría ergódica en espacios no compactos permanece con una vasta gama de interrogantes, incluso en sistemas dinámicos regulares como los diferenciables de clase $C^\infty$. El descubrimiento de nuevos fenómenos está en las manos de aquellos que viven en la curiosidad.

Para mayor detalles ver “Counterexamples to Ruelle’s inequality in the noncompact case” y “Ruelle’s inequality and Pesin’s entropy formula for the geodesic flow on negatively curved noncompact manifolds“, con sus respectivas referencias en los archivos PDF.

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