DINÁMICA DE UN MODELO TRITRÓFICO

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Vamos a estudiar la dinámica de una cadena alimenticia de tres especies. El modelo viene dado por un sistema de ecuaciones diferenciales

$X_{\mu}=\left\lbrace\begin{array}{l} \dot{x}= rx\left(1-\frac{x}{k}\right)-\left(\frac{qx^{\alpha}}{x^{\alpha}+a}\right)y-d_{1}xz,\\ \dot{y}= sy\left(1-\frac{y}{nx}\right)-d_{2}yz,\\ \dot{z}=hz\left(1-\frac{z}{c_{1}x+c_{2}y}\right), \end{array}\right.$

La especie $x$ tiene un crecimiento de tipo logístico con $r$ la tasa intrínseca de crecimiento y $k$ la capacidad de carga. Su crecimiento se ve afectado por los encuentros con la especie $y$, la cual es un depredador específico. Este consumo está moderado por una respuesta funcional de tipo Holling II que depende de un parámetro $\alpha\in(0,1)$, el cual modera el consumo de la espacie $x$ por la especie $y$. Por otra parte, el crecimiento de $x$ también se ve afectado por los encuentros con la especie $z$, de forma lineal, donde $d_{1}$ es una tasa de depredación.

La especie $y$ también tiene un crecimiento de tipo logístico con $s$ la tasa intrínseca de crecimiento, pero ahora su capacidad de carga depende de la cantidad de presas disponibles, es decir $k_{y}=nx$, donde $n$ es una constante de proporcionalidad. Además el crecimiento de la especie $y$ se ve afectado por los encuentros con la especie $z$ de forma lineal, donde $d_{2}$ es una tasa de depredación. La especie $z$ es un depredador generalista, pues consume a dos especies y tiene un crecimiento logístico con $h$ la tasa intrínseca de crecimiento, donde su capacidad de carga es una combinación lineal de la cantidad de presas $x$ e $y$ disponibles, con $c_{1}$ y $c_{2}$ constantes de proporcionalidad.

El dominio de nuestro modelo es:

$\Omega=\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} / x>0, y\geq 0, z\geq 0 \rbrace$,

y nuestro vector de parámetros es:

$\mu=\left(r,k,q,a,d_{1},d_{2},s,n,h,c_{1},c_{2},\alpha\right)\in\mathbb{R}^{11}\times\left(0,1\right)$.

Para el estudio de este modelo, primero se hizó un cambio de coordenadas, un reescalamiento del tiempo y un cambio de parámetros, para obtener un sistema topológicamente equivalente al anterior, pero más “comodo” de estudiar.

$X_{\nu}=\left\lbrace\begin{array}{l} \dot{u}=u(C_{1}u+C_{2}v)\left(u(1-u)\left(u^{\alpha}+A\right)-\frac{(1-m)(m^{\alpha}+A)}{m^{\alpha}}u^{\alpha}v-D_{1}u\left(u^{\alpha}+A\right)w\right),\\ \dot{v}=S(u-v)\left(u^{\alpha}+A\right)(C_{1}y+C_{2}v)v-D_{2}uvw\left(u^{\alpha}+A\right)(C_{1}u+C_{2}v),\\\dot{w}=Huw\left(C_{1}u+C_{2}v-w\right)\left(u^{\alpha}+A\right).\end{array}\right.$

El dominio de nuestro modelo es:

$\overline{\Omega}=\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} / u\geq 0, v\geq 0, w\geq 0 \rbrace$,

y nuestro vector de parámetros es:

$\nu=\left(A,S,H,C_{1},C_{2},D_{1},D_{2},m,\alpha\right)\in\mathbb{R}^{8}\times\left(0,1\right)$.

 Haciendo un estudio numérico del modelo se encontraron condiciones específicas de parámetros para la coexistencia de las tres especies. Construyendo un diagrama de bifurcación completo en el espacio de parámetro $(Q,S)$.

diagramainkretratos1retratos2


Para más detalles ver el capítulo 4 del siguiente documento $\rightarrow$ TesisVR

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