CAOS DE SHILNIKOV

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Bifurcación Homoclínica en sistemas tridimensionales: Teorema de Shilnikov


El espacio de estado tridimensional da lugar a una variedad más amplia de bifurcaciones homoclínicas, algunas de los cuales consiste en un número infinito de órbitas periódicas. Los dos tipos más simples de equilibrios hiperbólicos en $\mathbb{R}^{3}$ que permiten órbitas homoclínicas son sillas nodos y silla focos. Partimos de la base que a partir de ahora estos puntos de equilibrio tienen una variedad estable unidimensional $W^{u}$ y una variedad inestable bidimensional $W^{s}$ (de lo contrario, invierta la dirección del tiempo). En el caso de una silla nodo, suponemos que los valores propios del equilibrio son simples y satisfacen $\lambda_{1}>0>\lambda_{2}>\lambda_{3}$. En este caso toda órbita sobre $W^{s}$ se aproxima al equilibrio a  lo  largo del espacio propio unidimensional asociado a $\lambda_{2}$ excepto dos órbita que se aproximan a la silla nodo por el espacio propio asociado a $\lambda_{3}$.

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Figura 2: Tipos de equilibrios sillas

 

Definición: Los valores propios con parte real negativa que están más cerca del eje imaginario son llamados valores propios principales, mientras el correspondiente espacio asociado es llamado espacio propio principal.

Por lo tanto casi todas las órbitas sobre $W^{s}$ se aproxima a la silla genérica a lo largo del correspondiente espacio propio principal unidimensional. En el caso silla foco, hay dos valores propios principales $\lambda_{2}=\overline{\lambda_{3}}$ y el espacio propio principal es bidimensional.

Definición: (cantidad silla) La cantidad silla $\sigma$ de una silla nodo o foco es la suma del valor propio positivo y la parte real del valor propio principal.

Por lo tanto, $\sigma=\lambda_{1}+\lambda_{2}$ para una silla nodo y $\sigma=\lambda_{1}+Re\lambda_{2,3}$ para una silla foco.

La siguiente tabla presenta brevemente algunos resultados generales de Shilnikov [2], [3], [4] con respecto a dicho número $\sigma$ y la estabilidad de los ciclos límite generados a través de las bifurcaciones homoclínicas en $\mathbb{R}^{3}$. Las entradas de la columna especifican el tipo de equilibrio que tiene una órbita homoclínica, mientras que las entradas de fila dan el posible signo de la cantidad silla $\sigma$.

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Vamos a ver el caso en que el equilibrio es una silla foco, primero para $\sigma<0$, caso simple, posteriormente $\sigma>0$ que es el caso más complejo [2].

Teorema: Supongamos que el sistema tridimensional \begin{equation}\label{sigmanegativo}\dot{x}=f(x,\alpha), \quad x\in\mathbb{R}^{3}, \quad \alpha\in\mathbb{R}^{1},\qquad (1)\end{equation}

con $f$ suave, tiene en $\alpha=0$ un punto de equilibrio silla foco $x_{0}$ con valores propios $\lambda_{1}(0)>0>$Re $\lambda_{2,3}(0)$ y una órbita homoclínica $\Gamma_{0}$. Asumamos las siguientes condiciones de genericidad:

  • [$(H.1)$] $\sigma_{0}=\lambda_{1}(0)+Re\lambda_{2,3}(0)<0$;
  • [$(H.2)$] $\lambda_{2}(0)\neq\lambda_{3}(0)$;
  • [$(H.3)$] $\beta'(0)\neq 0$, donde $\beta(\alpha)$ es una función split

Entonces, el sistema (1)  tiene un único ciclo límite estable $L_{\beta}$ en una vecindad $U_{0}$ de $\gamma_{0}$ para todo $\beta>0$ suficientemente pequeño.

No existe una órbita periódica de $(1)$ en $U_{0}$ para todo $\beta\leq 0$ suficientemente pequeño. La variedad inestable $W^{u}(x_{0})$ tiende al ciclo $L_{\beta}$. El período del ciclo tiende a infinito cuando $\beta$ se aproxima a cero. Los multiplicadores no triviales del ciclo son complejos, $\mu_{2}=\overline{\mu_{1}}$ y $|\mu_{1,2}|<1$.

Teorema: ($\sigma>0$) Supongamos que un sistema tridimensional \begin{equation}\label{sigmapositivo}\dot{x}=f(x,\alpha), \quad x \in \mathbb{R}^{3}, \quad \alpha\in\mathbb{R}^{1},\qquad (2)\end{equation}

con $f$ una función suave, tiene en $\alpha=0$ un punto de equilibrio silla foco $x_{0}=0$ con valores propios $\lambda_{1}(0)>0>$Re $\lambda_{1,2}(0)$ y una órbita homoclínica $\Gamma_{0}$. Asumamos las siguientes condiciones de genericidad:

  • [$(H1)$] $\sigma_{0}=\lambda_{1}(0)+$Re $\lambda_{2,3}(0)>0$;
  • [$(H2)$] $\lambda_{2}(0)\neq \lambda_{3}$.

Entonces, el sistema (2) tiene un número infinito de ciclos límite sillas en una vecindad $U_{0}$ de $\Gamma_{0}\cup x_{0}$ para todo $|\alpha|$ suficientemente pequeño.

Idea de la demostración: Definimos un sistema de coordenadas de modo que $W^{s}(x_{0})$ (localmente) sea el plano $x_{1}=0$, mientras que $W^{u}(x_{0})$ (localmente) sea la recta $x_{2}=x_{3}=0$ [Ver figura 2]. Introducimos dos secciones transversales $\Sigma$ y $\Pi$, y definimos el mapeo de Poincaré $P:\Sigma^{+}\rightarrow \Sigma$ como la composición $P=Q\circ \Delta$ de dos mapeos, una cercana a la silla $\Delta:\Sigma^{+}\rightarrow \Pi$ y una global $Q:\Pi\rightarrow \Sigma$.

La imagen $\Delta \Sigma^{+}$ de $\Sigma^{+}$ sobre $\Pi$ es una espiral solida llamada, “Serpiente de Shilnikov[2], [3], [4]. El mapeo global $Q$ mapea la serpiente a $\Sigma$.

Asumamos, primero, que $\beta=0$ y consideremos la intersección de la imagen de la serpiente (i.e.,$P\Sigma^{+}$) con la sección transversal $\Sigma$. El origen de la serpiente es la intersección de $\Gamma_{0}$ con $\Sigma$. La intersección de $\Sigma$ con $W^{s}(x_{0})$ divide la $”$ serpiente $”$ en un número infinito de medias espirales superiores e inferiores. Las preimágenes $\Sigma_{i}$ de las $”$espirales$”$ medias superiores $P\Sigma_{i}=1,2,…,$ son tiras horizontales en $\Sigma^{+}$. Si la cantidad silla $\sigma_{0}>0$, la intersección $\Sigma_{i}\cap P\Sigma_{i}$ es no vacia y consiste de dos componente para $i\geq i_{0}$ donde $i_{0}$ es algún entero positivo (en la figura $i_{0}=2$). Cada una de estas intersecciones forma una herradura de Smale [5]. Se puede comprobar que las condiciones de expasión se satisfacen. Por lo tanto, cada una de estas herradura tiene un número infinito de puntos fijos sillas. Estos puntos fijos corresponden a ciclos limites sillas del sistema (2). Si $\sigma<0$, existe algún entero $i_{0}$ tal que para $i\geq i_{0}$ la intersección $\Sigma_{i}\cap P\sigma_{i}$ es vacia (en la figura $i_{0}=2$). Así no hay puntos fijos de $P$ en $\Sigma^{+}$ cercanos a $\Gamma_{0}$.

Si $\beta\neq 0$, el punto correspondiente a $\Gamma_{0}$ es desplazado hacia la lineal horizontal en $\Sigma$. Por lo tanto si $\sigma_{0}>0$ nos queda sólo un número finito de herraduras de Smale [5]. Todavía dan un número infinito de ciclos límite de silla en (2) para todo $|\beta|$ suficientemente pequeño. En el caso $\sigma_{0}<0$, el mapeo $P$ es una contracción en $\Sigma^{+}$ para $\beta>0$ y así tiene un único punto fijo atractor que corresponde a un ciclo límite estable de (2). No hay órbitas periódicas para $\beta<0$.

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Figura 2: Secciones transversales a una órbita homoclínica

 Referencias

[1] Y. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcation Theory, Applied Mathematical Sciences, Springer, 2004.

[2] L. Shilnikov. Dynamics Bifurcations strange Attractors, International Conference in memory of Leonid Pavlovich Shilnikov. Russia July 1-5, 2013.

[3] Shilnikov L.P., Shilnikov A., Turaev D. and Chua, L. [1998] Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part I. World Scientific.

[4] Shilnikov L.P., Shilnikov A., Turaev D. and Chua, L. [1998] Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part II. World Scientific.

[5] S. Smale. Finding a Horseshoe on the Beaches of Río, Mathematical. Intelligencer 20(1), 39-44, 1998.

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