ATRACTORES EXTRAÑOS

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 Mariposa de Lorenz

Fue en el año 1963 cuando Edward Lorenz, un matemático y meteorólogo, creando un sistema para modelar el comportamiento de la convección en la atmósfera [2]. Descubrió que el comportamiento de las soluciones de aquel sistema era extraño. Dadas dos condiciones iniciales, las soluciones, también llamadas trayectorias, divergían entre si, es decir, se separaban con el transcurso del tiempo. Luego este fenómeno fue llamado sensibilidad a las condiciones iniciales [1]. Por otra parte, estas trayectorias “dibujaba en el espacio” algo muy parecido a una “mariposa”. En otras palabras, cuando $t\rightarrow\infty$ las trayectorias convergían a un conjunto con forma de mariposa. Esta mariposa es un atractor extraño. Las ecuaciones de este modelo son:

$\left\lbrace\begin{array}{l} \dot{x}= \sigma(y-x),\\ \dot{y}= \rho x-y-xz,\\ \dot{z}=-\beta z+xy, \end{array}\right.$

y el sistema para $\sigma=10$, $\beta=8/3$ y $\rho=28$ exhibe este tipo comportamiento.

Atractor de Lorenz

 

 

 

 Atractor de Rössler

 Otto Rössler diseñó el atractor Rössler en 1976 [1], con el propósito de encontrar un sistemas que se comportara como el de Lorenz, pero que fuera más fácil de estudiar. Posteriormente se utilizo para modelar el equilibrio de reacciones químicas. Las ecuaciones de este modelo son:

$\left\lbrace\begin{array}{l} \dot{x}= -y-z,\\ \dot{y}= x+ay,\\ \dot{z}=b+z(x-c), \end{array}\right.$

y el sistema para $a=0.2$, $b=0.2$ y $c=5.7$ exhibe este tipo comportamiento.

 

 

Atractor Yu-Wang 

Fei Yu y Chun hua Wang a diferencia de Rössler, quisieron crear un sistema caótico con una estructura topológica más complicada, como por ejemplo un atractor extraño con más de un banda (ala), pues puede ser clave para muchas aplicaciones de ingeniería.  Ellos propusieron unos sistemas caóticos de cuatro abandas [6] dados por las siguientes ecuaciones:

$\left\lbrace\begin{array}{l} \dot{x}= a(y-x),\\ \dot{y}= bx-cxz,\\ \dot{z}=\sinh(xy)-dz, \end{array}\right.$

y

$\left\lbrace\begin{array}{l} \dot{x}= a(y-x),\\ \dot{y}= bx-cxz,\\ \dot{z}=\cosh(xy)-dz, \end{array}\right.$

Ambos sistemas generan un atractor extraño para $a=10$, $b=30$, $c=2$ y $d=2.5$.


Referencias

[1] S. Wiggins, Introducction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and chaos, Sprincer, Second Edition.

[2] E. Lorenz, Derterministic non-periodic flows, J. Atmos. Sci. 20, pp 130-141.

[3] S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview, 1994.

[4] O. Rössler, An Equation for Continuous Chaos, Physics Letters, Vol. 57A, No. 5, 1976, pp 397-398,

[5] O. Rössler, An Equation for Hyperchaos, Physics Letters, Vol. 71A, No. 2, 3, 1976, pp 155-157.

[6] F. yu and C. Wang, Generation of a New Three Dimension Autonomous Chaotic Attractor and its Four Wing Type, Eingineering, Technology & Applied Science Research, Vol. 3, No. 1, 2013, pp 352-358.

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